$25^{\circ}\mathrm{C}$，$1$ 気圧での $1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{mol/L}$ の $\mathrm{HCl}$ の水素イオン濃度を，水の電離も考慮して理論的に求めると，最大公約数が $1$ で，かつそれぞれ $10$ で割り切れない $3$ 正整数 $a, b, c$，および正整数 $d$ を用いて以下のように表されるので，$a, b, c, d$ の積 $abcd$ の値を求めて下さい．ただし，塩酸の電離度 $\alpha=1$ とし，与えられた条件下での水のイオン積 $K_{\mathrm{w}}=10^{-14}\,\mathrm{mol^2/L^2} $ とします．

$$ \dfrac{\sqrt{a}+b}{c} \times 10^{-d} \, \mathrm{mol/L}$$