OSC002 (物理杯)

解説 : OSC002(F)

東京を出た時刻を $t=0$，佐渡島に到着した時刻を $t=T_1$ とする．時刻 $t \ (0\leq t \leq T_1)$ における列車の位置を $\mathrm{P}(x, y) (x\geq0)$，これに対応するパラメータの値を $\theta$ とする．点 $\mathrm{P}$ におけるサイクロイド曲線の接線を $l$，サイクロイド曲線の最下点を $\mathrm{A}$，点 $\mathrm{A}$ から点 $\mathrm{P}$ までのサイクロイド曲線の長さを $s$ とする．

まず，以下の式から，接線 $l$ と $x$ 軸のなす角は $\dfrac{\theta}{2}$ であることがわかる． $$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}=\dfrac{50\sin\theta}{50(1+\cos\theta)}=\dfrac{\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}}{\cos^2\dfrac{\theta}{2}}=\tan \dfrac{\theta}{2}$$ このことから，列車の質量を $m$ とすると，接線方向に $-mg\sin \dfrac{\theta}{2}$ の力が働く．$s$ 軸上の加速度を $a=\dfrac{d^2s}{dt^2}$ とおくと，運動方程式は， $$ma=-mg\sin\dfrac{\theta}{2}$$ と表せる．ここで，$0\leq u \leq \theta$ とすると，曲線の長さ $s$ は以下のように表せる． $$s=\int_{0}^{\theta} \sqrt{\left(\dfrac{dx}{du}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{du}\right)^2}du=\int_{0}^{\theta} 100\cos\dfrac{u}{2}du=200\sin\dfrac{\theta}{2}$$ 以上の $2$ 式から，加速度 $a$ は以下のように表せる． $$a=-\dfrac{g}{200}s$$ 求める時刻 $T_1$ は，上記の単振動の周期を $T$ と置くと，以下のように計算できる．（ $\mathrm{km}$ と $\mathrm{m}$ の換算に注意．） $$T_1=\dfrac{T}{2}=\pi \sqrt{\dfrac{200 \ \mathrm{km}}{g}}=\pi \sqrt{\dfrac{200000 \ \mathrm{m}}{9.8 \ \mathrm{m/s^2}}}=\dfrac{3140}{7}$$ よって，求める値は $3140+7=3147$ となる．