OSC002 (物理杯)

解説 : OSC002(E)

微分方程式を解くと，$T=20+Ce^{-kt}$ を得る．

時刻 $t$ のときのコーヒーの温度を $T_1=20+C_1e^{-k_1t}$ とおき，お茶の温度を $T_2=20+C_2e^{-k_2t}$ とおく．

まずコーヒーについて，条件 $(t, T)=(0, 84), (24, 21)$ を代入すると，$C_1=64$，$k_1=\dfrac{\log 2}{4}$ を得る．

さらにお茶について，条件 $(t, T)=(0, 80), (4, 50)$ を代入すると，$C_1=60$，$k_2=\dfrac{\log 2}{4}$ を得る．

以上の結果から，$k_1=k_2=k$ とおくと，$2$ つの飲み物の温度差は， $$ T_1-T_2=(20+64e^{-kt})-(20+60e^{-kt})=4e^{-kt}$$ となり，これが $1^{\circ}\mathrm{C}$ 以下となるとき，

$$e^{-kt}\leq \dfrac{1}{4}$$

が成り立ち，これに先程求めた $k$ の値を代入して解くことで，$t \geq 8$ を得る．よって，求める値は $8$ 分後である．