OSC002 (物理杯)

解説 : OSC002(D)

問題文の条件から，地球の半径を $R$ とおくと，$\mathrm{OA}$ 間の距離は $2R$，$\mathrm{OB}$ 間の距離は $4R$ とおける。地球の質量を $M$，人工衛星の質量を $m$，万有引力定数を $G$ ，遠地点 $\mathrm{B}$ における人工衛星の速さを $v_B \ \mathrm{m/s}$とおいて，力学的エネルギーの原理を適用すると，

$$ \left(\dfrac{1}{2}m{v_A}^2 - G\dfrac{Mm}{2R} \right) - \left(\dfrac{1}{2}m{v_B}^2-G\dfrac{Mm}{4R}\right)=0 $$

となる．この式を整理することで，

$${v_A}^2-{v_B}^2=\dfrac{1}{2}gR$$

を得る．さらに，ケプラーの第二法則（面積速度一定の法則）から，

$$\dfrac{1}{2}\times 2R \times v_A = \dfrac{1}{2}\times 4R \times v_B$$

となり，これを整理すると $v_A=2v_B$ を得る．以上の $2$ 式から，単位に注意して計算すると，求める値は以下の通りである．

$$ v_A=\sqrt{\dfrac{2}{3}gR}=\sqrt{\dfrac{2}{3}\times 9.8 \times 6348000}=\sqrt{196\times 2116\times 100}=14\times 46 \times 10=6440 \ \mathrm{m/s}$$