OXCIC Round.1

解説 : OXCIC Round.1(D)

まず繁分数を整理すると, $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \dfrac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}} &= \dfrac{1}{x+\frac{x}{x^2+1}} \\ &= \dfrac{x^2+1}{x(x^2+1)+x} \\ &= \dfrac{x^2+1}{x(x^2+2)} \end{aligned} \end{equation*} $$ となる。部分分数分解を試みると, $\dfrac{x^2+1}{x(x^2+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x^2+2}+\dfrac{1}{x}\right)$ となることが分かるので, 求める定積分は $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}}\mathrm{d}x &= \dfrac{1}{2}\int_{1}^{2} \left(\dfrac{x}{x^2+2}+\dfrac{1}{x}\right)\mathrm{d}x \\ &= \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2}\log{\left(x^2+2\right)}+\log{x}\right]\_{1}^{2} \\ &= \dfrac{1}{4}\left(\log{6}-\log{3}+2\log{2}\right) \\ &= \dfrac{3\log{2}}{4} \end{aligned} \end{equation*} $$ となる。したがって, 解答すべき値は $3+2+4=\textbf{9}$ となる。

没理由：$f_1(x)=\dfrac{1}{x+1}$, $f_{n+1}(x)=\dfrac{1}{x+f_n(x)}$ のときの $\int f_{\infty}\mathrm{d}x$ にしようとしたが初等的に解けなかった