OXCIC Round.1

解説 : OXCIC Round.1(A)

$I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin{x}}{\sin{x}+3\cos{x}}\mathrm{d}x$ とおく。また, $J=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}+3\cos{x}}\mathrm{d}x$ とおく。求めるのは $I$ の値である。

まず $I+3J$ を考えると,$$ \begin{equation*} \begin{aligned} I+3J &= \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin{x}+3\cos{x}}{\sin{x}+3\cos{x}}\mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\pi/2}\mathrm{d}x \\ &= \dfrac{\pi}{2} \end{aligned} \end{equation*} $$ を得る。次に $J-3I$ を考えると,$$ \begin{equation*} \begin{aligned} J-3I &= \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\cos{x}-3\sin{x}}{\sin{x}+3\cos{x}}\mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\left(\sin{x}+3\cos{x}\right)^\prime}{\sin{x}+3\cos{x}}\mathrm{d}x \\ &= \left[\log{\left(\sin{x}+3\cos{x}\right)}\right]_{0}^{\pi/2} \\ &= -\log{3} \end{aligned} \end{equation*} $$ を得る。

以上より, $$I=\dfrac{(I+3J)-3(J-3I)}{10}=\dfrac{\frac{\pi}{2}+3\log{3}}{10}=\dfrac{\pi+\log{729}}{20}$$ ゆえ, 解答すべきは $729+20=\mathbf{749}$ となる。