OXCIC Round.1

解説 : OXCIC Round.1(C)

$\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^\prime=x\cos{x}$ なので, $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \int \dfrac{x^2}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{x}{\cos{x}}\cdot\dfrac{x\cos{x}}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mathrm{d}x \\ &= \int \dfrac{x}{\cos{x}}\left(-\dfrac{1}{x\sin{x}+\cos{x}}\right)^{!\prime}\mathrm{d}x \\ &= -\dfrac{x}{\cos{x}\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)}+\int \dfrac{x\sin{x}+\cos{x}}{\cos^2{x}}\cdot\dfrac{1}{x\sin{x}+\cos{x}}\mathrm{d}x \\ &= -\dfrac{x}{\cos{x}\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}+C \\ &= \dfrac{-x+x(1-\cos^2{x})+\sin{x}\cos{x}}{\cos{x}\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)}+C \\ &= \dfrac{-x\cos{x}+\sin{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}+C\ (C:const) \end{aligned} \end{equation*} $$ である。よって求める定積分は $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} \dfrac{x^2}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mathrm{d}x &= \left[\dfrac{-x\cos{x}+\sin{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\right]_{0}^{\pi/4} \\ &= \dfrac{-\frac{\pi}{4}+1}{\frac{\pi}{4}+1}-0 \\ &= \dfrac{4-\pi}{4+\pi} \end{aligned} \end{equation*} $$ となる。したがって, 解答すべき値は $4+1+4+1=\mathbf{10}$ となる。

没理由：一発ゲーすぎる