OXCIC Round.1

解説 : OXCIC Round.1(B)

$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x^3+1)(x^2+x+1)=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$ より部分分数分解を試みる。

$$\dfrac{1}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^2-x+1}+\dfrac{dx+e}{x^2+x+1}$$ とおけば, 等号が恒等的に成り立つことから, 右辺を通分して分子の係数を比較すれば, $a=\dfrac{1}{3}$, $b=-\dfrac{1}{3}$, $c=\dfrac{1}{6}$, $d=0$, $e=\dfrac{1}{2}$ となる。すなわち, $$\dfrac{1}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=\dfrac{1}{3(x+1)}-\dfrac{2x-1}{6(x^2-x+1)}+\dfrac{1}{2(x^2+x+1)}$$ が成り立つ。よって求める定積分は $$\int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{3(x+1)}-\dfrac{2x-1}{6(x^2-x+1)}+\dfrac{1}{2(x^2+x+1)}\right)\mathrm{d}x$$ となる。

定積分の括弧内各項について, $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x+1}\mathrm{d}{x} &= \left[\log{\left(x+1\right)}\right]_{0}^{1} \\ &= \log{2} \end{aligned} \end{equation*}$$ $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \int_{0}^{1} \dfrac{2x-1}{x^2-x+1}\mathrm{d}x &= \int_{0}^{1} \dfrac{\left(x^2-x+1\right)^\prime}{x^2-x+1}\mathrm{d}x \\ &= \left[\log{\left(x^2-x+1\right)}\right]_{0}^{1} \\ &= 0 \end{aligned} \end{equation*}$$ $$ \begin{equation*} \begin{aligned} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x &= \int_{0}^{1} \dfrac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x \\ & \left(x+\tfrac{1}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\tan{\theta}\ \text{に置換}\right) \\ &= \dfrac{4}{3}\int_{\pi/6}^{\pi/3} \dfrac{1}{\tan^2{\theta}+1}\cdot\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{d}\theta}{\cos^2{\theta}} \\ &= \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\int_{\pi/6}^{\pi/3}\mathrm{d}\theta \\ &= \dfrac{\sqrt{3}\pi}{9} \end{aligned} \end{equation*}$$ と計算できるから, 定積分の値は $$\dfrac{1}{3}\log{2}-0+\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{3}\pi}{9}=\dfrac{\sqrt{3}\pi+\log{64}}{18}$$ となるので, 答えるべき値は $3+64+18=\mathbf{85}$ となる。

没理由：既出 (慶應大入試)